Fundamentos físicos
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.
Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos
el peso mg
La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq en la dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial.
Ecuación del movimiento en la dirección radial
La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.
La segunda ley de Newton se escribe
man=T-mg·cosq
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la tensión T del hilo.
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv2/l
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0
Principio de conservación de la energía
En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.
Comparemos dos posiciones del péndulo:
En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial.
E=mg(l-l·cosθ0)
En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial
La energía se conserva
v2=2gl(cosθ-cosθ0)
La tensión de la cuerda es
T=mg(3cosθ-2cosθ0)
La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).
Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
La aceleración de la partícula es at=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe
mat=-mg·senq
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial
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FUNDAMENTO: Un péndulo simple es un punto material suspendido a través de un hilo de
un punto, sobre el que puede oscilar libremente. Consideremos la masa M, y la longitud del
hilo L. Al separar esta masa de su posición de equilibrio un cierto ángulo α , la fuerza de su
peso se descompone, tal como se indica en la figura. La fuerza Fr es una fuerza recuperadora
que tiende a volver al péndulo a su situación de equilibrio. Su valor es :
F mg r = − senα
El signo - indica que Fr y α siempre son de
signos contrarios.
Si α es pequeño, α ≈ sen α y se puede escribir:
F mg mg s
r L = − α = −
Suponiendo que la fuerza recuperadora es proporcional
al desplazamiento respecto al centro
de equilibrio, y que el movimiento es un movimiento
armónico simple
F mgsenα r
Por tanto
k mgl= y
g= 2π = 2π = 2π/t
A partir de esta expresión vamos a estudiar como varia T con d, y vamos a estimar el valor de
g en nuestra latitud.
VARIACIÓN DEL PERIODO DEL PÉNDULO CON LA LONGITUD.
Prácticas de Física General
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En primer lugar, vamos a estudiar como varía el tiempo que el péndulo tarde en dar
una oscilación completa en función de la longitud. Para ello procederemos del siguiente
modo: Medimos en primer lugar la longitud del péndulo para lo cual sumamos la longitud del
hilo (d) y la mitad del diámetro de la masa esférica (D).
L = d + 1 D
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Separamos la masa de su posición de equilibrio unos 10º-15º y la dejamos mover
libremente procurando que lo haga en un plano. Determinamos el periodo del péndulo
midiendo 10 oscilaciones completas y dividiendo el tiempo total entre 10. Repetimos esta
operación 5 veces.
A continuación modificamos la longitud del hilo y repetimos la medida de forma
semejante a la anterior. Realizamos este tipo de medidas con 8 valores distintos de longitudes
del hilo. Consignamos los resultados en el siguiente cuadro:
d 1/2 D L n t T T2
1ª serie
2ª serie
3ª serie
4ª serie
5ª serie
RESULTADOS:
a) Represente en dos gráficas de papel milimetrado los valores de T frente a L, y los
valores de T² frente a L. ¿Que tipos de curvas aparecen? Escriba alguna conclusión que pueda
extraerse al estudiar las gráficas
b) Considerando la fórmula del péndulo simple. ¿Que tipo de curva debe ser la
obtenida al representar T² frente a L? ¿Cuánto debe valer la pendiente?.
